Доказать что оператор проектор

Содержание

При этом вектор п — мерного пространства проектируется на т — мерное подпространство этого пространства. Введенное определение обобщает известное геометрическое представление о проектировании в пространствах и .

Очевидно, что (2.27.4) имеет место только в том случае, когда при и при (проверьте самостоятельно). Поэтому матрица оператора проектирования имеет вид

Оператор гомотетии6 (н)

Если для любого вектора имеет место равенство

то оператор Н называется оператором гомотетии (подобия) (рис. 2.18). Поскольку равенство (2.27.5) имеет место лишь при то матрицей оператора гомотетии будет

Задание для самостоятельного решения

Доказать, что оператор проектирования обладает следующим свойством: где
Выяснить геометрический смысл оператора где  фиксированный единичный вектор.

2.28. Геометрический смысл матрицы линейного оператора

Рассмотрим оператор Он осуществляет отображение В силу линейности оператора А параллелограмм, постро –

10.1 Линейный оператор

енный на векторах перейдет в параллелограмм, построенный на векторах

Обозначим матрица оператора А в базисе . Тогда, как известно, и

Поскольку площади параллелограммов определяются соответственно формулами

то, вычисляя непосредственно векторные произведения, получим

т.е. модуль определителя матрицы А является коэффициентом искажения площади в (рис. 2.19).

Если то можно доказать, что

2.29. Действия с операторами

Рассмотрим два оператора А и В, действующие из L в L, где L – линейное пространство.

Над такими операторами вводятся следующие действия:

а) сложение операторов;

б) умножение оператора на число;

в) умножение оператора на оператор.

Приведем определения и рассмотрим свойства каждой из этих операций.

Операторы А и В будем считать равными, если для любого вектора справедливо равенство

Сложение операторов

Суммой операторов А и В называется оператор , определяемый равенством

Оператор является линейным. Действительно, из (2.29.2),(2.25.2) имеем

Для n-мерного линейного пространства матрица суммы линейных операторов равна сумме матриц слагаемых (это утверждение докажите самостоятельно).

Умножение оператора на число

Отображение, полученное в результате применения к вектору сначала оператора , а затем умножения полученного вектора на число , называется произведением числа на оператор и обозначается через А:

Нетрудно видеть, что – линейный оператор. Действительно, учитывая (25.1), (25.2) и (29.3), получаем

Для n-мерного пространства матрица оператора равна произведению числа на матрицу оператора (докажите самостоятельно).

Еще по теме: Проектор ricoh pj s2440 отзывы

Нетрудно проверить, что введенные операции над линейными операторами обладают свойствами:

Равенства (2.29.4) полностью соответствуют аксиомам линейного пространства, приведенным в п. 2.18. Поэтому множество всех линейных операторов, действующих из в , есть линейное пространство.

Источник: studfile.net

Научный форум dxdy

$P^2=P$

Доказать, что любой оператор, для которого , является проектором.

Задача легко доказывается с привлечением тяжелой артиллерии. Например, если рассмотреть жорданову форму, то чтобы жорданова клетка в квадрате давала саму себя, она должна быть порядка

и равной

$» /> либо

, в итоге получаем проектор.

Но к моменту рассмотрения этой задачи мы еще даже не знаем про СЗ оператора, а тем более про ЖНФ. Мы не знаем даже про индуцирование оператора на его инвариантное подпространство и т.д.. Зато мы знаем про образ и ядро, всякие свойства подпространств, про обратный оператор знаем. Но я что-то не могу придумать «элементарного» метода доказательства утверждения этой задачи.

Re: Доказать, что оператор — проектор
02.06.2021, 19:19

Это зависит от того, какое определение проектора используется. Вообще-то, во многих источниках проектором зазывается идемпотент, то есть оператор с таким свойством.

Re: Доказать, что оператор — проектор
02.06.2021, 19:20
Balexxx в сообщении #1520943 писал(а):

Хороший вопрос. По определению (эквивалентному, видимо, что и нужно доказать) проектор — это оператор, который проецирует любой элемент на некоторое подпространство параллельно другому подпространству.

Re: Доказать, что оператор — проектор
02.06.2021, 19:23
artempalkin
Достаточно заметить, что пересечение ядра и образа такого оператора тривиально.
Re: Доказать, что оператор — проектор
02.06.2021, 19:28

Последний раз редактировалось Balexxx 02.06.2021, 19:32, всего редактировалось 1 раз.

Цитата:

это оператор, который проецирует любой элемент на некоторое подпространство параллельно другому подпространству.

А что речь идет о непременно Евклидовых пространствах? Выше был отличный совет для общего случая. Линейных пространств, конечно. А не для каких-нибудь категорий с мнимыми идемпотентами 🙂

Re: Доказать, что оператор — проектор
02.06.2021, 19:34

Последний раз редактировалось artempalkin 02.06.2021, 19:35, всего редактировалось 1 раз.

nnosipov в сообщении #1520945 писал(а):
artempalkin
Достаточно заметить, что пересечение ядра и образа такого оператора тривиально.

Еще по теме: Как увеличить изображение проектора на всю стену

Да, я думал об этом, у проекторов ядро и образ не пересекаются. Но верно ли будет обратное? Это не проще доказать, чем исходное утверждение, кажется 🙂

Balexxx в сообщении #1520947 писал(а):

Задача из задачника Ким по Линалу, обычные ЛП — 2 закона композиции и 8 аксиом, с чем-то большим я не знаком 🙂

Re: Доказать, что оператор — проектор
02.06.2021, 19:38

Последний раз редактировалось Balexxx 02.06.2021, 19:40, всего редактировалось 1 раз.

Цитата:
Задача из задачника Ким по Линалу, обычные ЛП — 2 закона композиции и 8 аксиом

Ну то есть не обязательно Евклидово. Скалярного произведения нет, углов тоже и о параллельности говорить не стоит. Отталкивайтесь от формального определения в книжке. Не знаком с ней, но скорее всего там определение через прямую сумму.

Re: Доказать, что оператор — проектор
02.06.2021, 19:41
Balexxx в сообщении #1520950 писал(а):

Ну то есть не обязательно Евклидово. Скалярного произведения нет, углов тоже и о параллельности говорить не стоит. Отталкивайтесь от формального определения в книжке.

Параллельность (или коллинеарность) не требуют введения СП все же 🙂 Да и да, речь же о «формальном» определении, смысл слов тут неважен.

Re: Доказать, что оператор — проектор
02.06.2021, 19:53
artempalkin в сообщении #1520949 писал(а):
Но верно ли будет обратное?

Верно. И почти очевидно: пусть $x in mathop<rm Im>$ и $x in mathop<rm Ker>$ . Тогда $x=varphi(y)$ и $varphi(x)=0$ . Отсюда . $x=0$ .

Re: Доказать, что оператор — проектор
02.06.2021, 19:56

Последний раз редактировалось artempalkin 02.06.2021, 19:57, всего редактировалось 1 раз.

Все-таки вот этот момент я не понял. Доказать это несложно (пусть $x$ принадлежит и ядру и образу. Тогда $theta=Px=P^2y=Py=x$ ). Но разве из этого сразу следует, что оператор — проектор? Разве только у проекторов ядро и образ не пересекаются?

Мне кажется, это необходимое, но не достаточное условие.

nnosipov в сообщении #1520952 писал(а):
Но верно ли будет обратное?

Я имею в виду, верно ли будет, что если ядро и образ не пересекаются, то оператор — проектор. Думаю, нет.

Еще по теме: Видами чего являются светильники прожекторы проекторы ответы тест

Re: Доказать, что оператор — проектор
02.06.2021, 20:01
Цитата:

Я имею в виду, верно ли будет, что если ядро и образ не пересекаются, то оператор — проектор. Думаю, нет.

Это Вам и не нужно. Пространство разложится в прямую сумму образа и ядра. Оператор будет работать как проектор на образ.

Re: Доказать, что оператор — проектор
02.06.2021, 20:04
artempalkin в сообщении #1520954 писал(а):
Разве только у проекторов ядро и образ не пересекаются?

Не только. Но там остается пустяк: нужно проверить, что если $x in mathop<rm Im>$ , то $varphi(x)=x$ . (Хотя это уже фактически сделано.)

Re: Доказать, что оператор — проектор
02.06.2021, 20:08

Последний раз редактировалось svv 02.06.2021, 20:09, всего редактировалось 1 раз.

Пусть $P^2=P$ . Тогда для любого $vin V$
$v=Pv+(v-Pv)$ , причём
$Pvin operatorname<Im>P$ (очевидно),
$v-Pv in operatorname<Ker>P$ (потому что $P(v-Pv)=0$ ).

Re: Доказать, что оператор — проектор
02.06.2021, 21:48
nnosipov в сообщении #1520958 писал(а):

Но там остается пустяк: нужно проверить, что если $x in mathop<rm Im>$ , то $varphi(x)=x$ . (Хотя это уже фактически сделано.)

Ага, да, согласен, это вполне подойдет.
Итого:
1) доказываем, что образ и ядро не пересекаются;
2) доказываем, что образом любого элемента образа является он сам.

Да, отлично, спасибо!

svv в сообщении #1520959 писал(а):

Пусть $P^2=P$ . Тогда для любого $vin V$
$v=Pv+(v-Pv)$ , причём
$Pvin operatorname<Im>P$ (очевидно),
$v-Pv in operatorname<Ker>P$ (потому что $P(v-Pv)=0$ ).

Да, это круто! И я даже понимаю, как до этого можно было бы догадаться.
Единственное, я вот думаю, здесь все еще нужно доказывать, что образ и ядро не пересекаются? Кажется, нужно.

Re: Доказать, что оператор — проектор
02.06.2021, 21:59

Последний раз редактировалось svv 02.06.2021, 22:00, всего редактировалось 2 раз(а).

Да, конечно, нужно (просто я исходил из того, что «непересечение» у Вас уже есть). Действуем в том же духе:
Пусть $uinoperatorname<Im>Psetminus$ , тогда $exists vin V: Pv=u$ . Но так как
$Pu=P^2 v=Pv=uneq 0$ , то $ unotinoperatorname<Ker>P$
Ну а есть прямая сумма — есть параллельная проекция.