Проектор что это линейная алгебра

Содержание

На этом рисунке преобразование [math]displaystyle[/math] является ортогональной проекцией на прямую [math]displaystyle< m >[/math] .

В линейной алгебре и функциональном анализе линейный оператор [math]displaystyle[/math] , действующий в линейном пространстве, называется прое́ктором (а также опера́тором проеци́рования и проекцио́нным опера́тором) если [math]displaystyle< P^2=P >[/math] . Такой оператор называют идемпотентным.

Несмотря на свою абстрактность, это определение обобщает идею построения геометрической проекции.

В качестве определения можно использовать следующее свойство проектора: линейный оператор [math]displaystyle< P:Xto X >[/math] является проектором тогда и только тогда, когда существуют такие подпространства [math]displaystyle[/math] и [math]displaystyle< V >[/math] пространства [math]displaystyle< X >[/math] , что [math]displaystyle< X >[/math] раскладывается в их прямую сумму, и при этом для любой пары элементов [math]displaystyle< uin U, vin V >[/math] имеем [math]displaystyle< P(u+v)=u >[/math] . Подпространства [math]displaystyle[/math] и [math]displaystyle< V >[/math] — соответственно образ и ядро проектора [math]displaystyle[/math] , и обозначаются [math]displaystyle< mathrmP >[/math] и [math]displaystyle< mathrmP >[/math] .

Что такое линейная алгебра, зачем нужна и как с ней работать? Душкин объяснит

В общем случае, разложение линейного пространства в прямую сумму не единственно. Поэтому, для подпространства [math]displaystyle< V >[/math] пространства [math]displaystyle< X >[/math] , вообще говоря, существует много проекторов, образ или ядро которых совпадает с [math]displaystyle< V >[/math] .

1 Свойства проекционных операторов
2 Комбинации проекторов
3 Примеры
4 Ортогональный проектор
5 Литература

Свойства проекционных операторов

Пусть [math]displaystyle[/math] — тождественный оператор. Если [math]displaystyle[/math] — проектор, то [math]displaystyle< I-P >[/math] тоже проектор, причём [math]displaystyle< mathrm=mathrm>[/math] и [math]displaystyle< mathrm=mathrmP >[/math] .
В конечномерном нормированном пространстве все проекционные операторы непрерывны.
Для банахова же пространства проекционный оператор будет непрерывным, если его образ замкнут, при этом ядро проектора тоже окажется замкнутым. Таким образом, непрерывный проектор задаёт разложение пространства в прямую сумму замкнутых подпространств: [math]displaystyle < X=mathrmP oplus mathrm, P >[/math] .
Собственными значениями проектора могут быть только 0 и 1. Соответствующими собственными подпространствами проектора будут его ядро и образ.

Еще по теме: Проектор sanyo z3 характеристики

Комбинации проекторов

Пусть [math]displaystyle< P_1 >[/math] и [math]displaystyle< P_2 >[/math] — проекторы, заданные на векторном пространстве [math]displaystyle< X >[/math] , и проецирующие на подпространства [math]displaystyle< M_1 >[/math] и [math]displaystyle< M_2 >[/math] соответственно. Тогда

[math]displaystyle< P_1+P_2 >[/math] — проектор на подпространстве [math]displaystyle< M_1oplus M_2 >[/math] , в том и только том случае, когда [math]displaystyle< P_1 P_2=P_2 P_1=0 >[/math] .
[math]displaystyle< P_1-P_2 >[/math] является проектором тогда и только тогда, когда [math]displaystyle< P_1 P_2=P_2 P_1=P_2 >[/math] . [math]displaystyle< P_1-P_2 >[/math] проецирует на подпространство [math]displaystyle< M_1cap(Xominus M_2) >[/math] .
Если [math]displaystyle< P_1P_2=P_2P_1=P >[/math] , то [math]displaystyle[/math] — проектор на подпространство [math]displaystyle< M_1cap M_2 >[/math] .

Примеры

Ортогональная проекция (см. ниже) точек [math]displaystyle< (x, y, z) >[/math] пространства [math]displaystyle< R^3 >[/math] на плоскость [math]displaystyle< Oxy >[/math] задаётся матрицей

Действует на точки она следующим образом:

Преобразование T является косоугольной проекцией вдоль k на прямую m. U=m и V=k.

Простейший неортогональный проектор осуществляет косоугольную проекцию точек плоскости на прямую. Он задаётся матрицей:

Легко показать, что это действительно проектор:

[math]displaystyle < P^2 = begin0 1 end begin 0 1 end = begin 0 1 end = P. >[/math]

Проекция, задаваемая [math]displaystyle[/math] , ортогональна, тогда и только тогда, когда [math]displaystyle< alpha = 0 >[/math] .

Ортогональный проектор

Если пространство [math]displaystyle< X >[/math] — гильбертово, то есть обладает скалярным произведением (а значит и понятием ортогональности), то можно ввести понятие ортогонального проектора.

Ортогональный проектор — это частный случай проектора, когда выше упомянутые подпространства [math]displaystyle[/math] и [math]displaystyle< V >[/math] ортогональны друг другу, иными словами, когда [math]displaystyle< forall uin U, forall vin V >[/math] [math]displaystyle< (u,v)=0 >[/math] , или [math]displaystyle< ucdot v =0 >[/math] , или [math]displaystyle< uperp v =0 >[/math] . В этом случае проекция элемента [math]displaystyle< xin X >[/math] является ближайшим к нему элементом пространства [math]displaystyle[/math] .

Еще по теме: Проектор Smart v25 не включается

Литература

Треногин В. А. Функциональный анализ. — М. : Наука, 1980. — 495 с.
Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М. : Физматгиз, 1963. — 264 с.

Для улучшения этой статьи желательно:

Проставить сноски, внести более точные указания на источники.

Источник: xn--h1ajim.xn--p1ai

Проектор что это линейная алгебра

Вы здесь:
Главная
Видеотека
Естествознание
Математика
Высшая математика
Линейная алгебра
Линейная алгебра от НОУ ИНТУИТ
Лекция 9: Проектор

Лекция 9: Проектор

Подробности Категория: Линейная алгебра от НОУ ИНТУИТ

В лекции подробно рассмотрен такой вид линейного оператора, как проектор. Рассмотрены его свойства. Разобраны задачи по указанной теме.

Источник: forkettle.ru

Вычисление проекторов матрицы

Проекторы матрицы можно также вычислить, воспользовавшись интерполяционным многочленом Лагранжа с матричным аргументом:

По известному спектру проекторы матрицы можно найти и методом неопределенных коэффициентов. Для чего выбирают такие функции от матрицы A, которые вычисляются очевидным образом, например, такие:

Записывая разложение для каждой функции, получим следующую систему линейных уравнений относительно проекторов:

В случае, когда в спектре матрицы имеются кратные собственные значения, вычисление проекторов осуществляется по интерполяционным формулам Лагранжа, учитывающим еще и заданные значения производных в отдельных точках. Разложение матричной функции по значениям ее на спектре в этом случае имеет вид:

где – значения i-тых произ-водных функции в точках, соответствующих различным (не кратным) корням характеристического многочлена,

– число кратных корней ,

– проекторы кратных корней, в выражении которых содержатся

– проекторы различных корней.

9. Пример использования числовых характеристик матриц

Знание собственных значений матрицы и ее проекторов позволяет выполнять вычисления аналитических функций получающихся, например, при решениях систем линейных дифференциальных уравнений, при исследованиях эквивалентных матричных преобразований и пр.

Еще по теме: Использование проектора в доу

Для примера построим матрицу с заданными собственными значениями и собственными векторами, основанными на векторах .

Сначала необходимо убедиться в линейной независимости исходных векторов и добиться того, чтобы левые и правые одноименные собственные векторы оказались ортогональными, т.е. . Проверка линейной независимости может быть объединена с процессом ортогонализации заданной системы векторов методом Грама-Шмидта.

Для заданных векторов построим систему векторов таких, что , следующим образом:

Откуда последовательно находятся коэффициенты :

Взаимной ортогональности векторов v можно было бы добиваться и так, чтобы каждый был ортогонален каждому , положив и приравняв нулю скалярные произведения :

Определитель этой системы называют определителем Грама:

где — матрица, в общем случае комплексно сопряженная с матрицей

, составленной из заданных векторов.

Если грамиан положителен, а он всегда неотрицателен, то векторы линейно независимы, а если равен нулю, то зависимы. Это один из способов проверки конкретного набора векторов на их линейную независимость.

Для заданного выше набора векторов определитель произведения матрицы X на транспонированную X* будет равен

Таким образом, заданная система векторов линейно независима. Для построения ортонормированной системы векторов последовательно вычислим коэффициенты и ортогональные векторы:

После нормирования векторы образуют правую систему собственных векторов. Транспонированная Т-матрица с этими векторами есть -матрица (); ее строки являются собственными левосторонними векторами: