Проектор матрицы как найти

Содержание

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Ветошкин Александр Михайлович, Шум Александр Анатольевич

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

MATRIX REPRESENTATIONS OF PROJECTORS AND THEIR APPLICATIONS

Текст научной работы на тему «МАТРИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОЕКТОРОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ»

Лесной вестник /Forestry Bulletin, 2022. Т. 26. № 3. С. 125-130. ISSN 2542-1468 Lesnoy vestnik /Forestry Bulletin, 2022, vol. 26, no. 3, pp.

125-130. ISSN 2542-1468

IPS или VA? Лайфхак как определить тип матрицы телевизора/монитора⁉️

Матричные представления проекторов. Математическое моделирование

УДК 512.643.8 DOI: 10.18698/2542-1468-2022-3-125-130 Шифр ВАК 2.3.5

МАТРИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОЕКТОРОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

А.М. Ветошкин1н, А.А. Шум2

1МГТУ им. Н.Э. Баумана (Мытищинский филиал), 141005, Московская обл., г. Мытищи, ул. 1-я Институтская, д. 1 2ТГТУ, 170026, г. Тверь, наб. Афанасия Никитина, д. 22

Предлагается формула вычисления псевдообратной матрицы для блочной матрицы [AB] в случае, когда

Рассмотрены полезные примеры применения приведенной формулы. Получена формула Андерсона — Даффина для _ „двух ортопроекторов А и В Установлено: (Ä + B-ÄB-BA)+ =pp’p + qq’q, где р = (ВА)+’,д = (АВ)+; псевдообратная матрица коммутатора РР* — Р*Р равна сумме четырех проекторов. Найдена псевдообратная матрица от суммы двух проекторов.

Ключевые слова: проектор, ортопроектор, косой проектор, псевдообратная матрица, формула Клайна

Ссылка для цитирования: Ветошкин А.М., Шум А.А. Матричные представления проекторов и их приложения // Лесной вестник / Forestry Bulletin, 2022. Т. 26. № 3. С. 125-130. DOI: 10.18698/2542-1468-2022-3-125-130

Еще по теме: Lejiada q2 LCD мини портативный проектор отзывы

подпространства строк матриц A и B пересекаются только по нулю (П = 0): [АВХ =

усть Мпк = Мпк (Е)—множество прямоугольных матриц размера п х k с элементами из поля Е = С,Ш Если п = ^ то вместоМп п пишемМп. Матрица Р е Мп называется проектором, если Р2 = Р. Если проектор Р является эрмитовой матрицей, то Р называется ортопроектором.

Подпространства Ь и М называются дополнительными, если они пересекаются по нулевому вектору, и Ь + М = ¥п. Обозначим матрицу, проектирующую на подпространство Ь вдоль подпространства М, через Рг(Ь, М). Для подпространства, натянутого на столбцы матрицы А (образа А), будем использовать такое обозначение: . Если подпространства, определяющие проектор, задаются матрицами Ь = и М = , то вместо Рг(Ь, М), или Рг(, ) пишем Рг(А, В).

Используем обозначение: Ь1 — ортогональное дополнение к подпространству Ь. Через М+ в соответствии с работами [1-4] обозначаем псевдообратную матрицу к матрице М.

Гобо-проекторы. Обзор и инструкция по установке матрицы

Для ортопроектора Рг(Д) = Рг( , ), задаваемого матрицей А, используется также обозначение А Отметим, что А = АА+. Дополнительный проектор вводится соотношением А — 1п—А, где 1п — единичная матрица порядка п.

В работе [5] получены следующие полезные результаты, имеющие отношение к двум матрицам А и В с одинаковым числом строк.

Теорема. Пусть подпространства и являются дополнительными. Тогда проектор на подпространство вдоль подпространства дается выражением

Причем, если A столбцовая матрица полного ранга, то

Если для матриц А и В потребовать только то, чтобы пересечение натянутых на них подпространств было нулевым (П=0), то выполняются равенства:

А(ВА)+ + В(АВ)+ = Рг([^4:5]). (4) В случае произвольных матриц А и В с одинаковым числом строк матричное выражение (^4) является следующим проектором

Запись [А:В] используется для обозначения блочной матрицы, полученной последовательным выписыванием столбцов матрицы А и столбцов матрицы В.

Следующая лемма [5] полезна при манипуляциях с выражениями вида ВА или ВА.

Лемма. Пусть матрица А — столбцовая полного ранга, у матрицы В такое же число строк, как у матрицы А. Матрица ВА — столбцовая полного ранга тогда и только тогда, когда

п [В>Х = 0. Матрица ВА — столбцовая полного ранга тогда и только тогда, когда

п = 0. Цель работы

Цель работы — проиллюстрировать полезность результатов (1) — (6) из работы [5] для вычисления псевдообратной матрицы для матриц, представленных различными многочленными выражениями от проекторов.

Еще по теме: Как проектору управлять генератором

Нередко возникает необходимость вычислить или преобразовать псевдообратную матрицу для некоторого матричного выражения. И зачастую это представляет непростую задачу.

В качестве примера можно привести теорему Андерсона — Даффина [6]. В этой теореме рассматривается выражение 2Р(Р + Q)+Q для двух ортопроекторов Р и Q. Оказывается, это выражение задает ортопроектор на пересечение образов этих проекторов. В свое время этот результат произвел большое впечатление и был даже назван жемчужиной линейной алгебры.

Применение рекламируемых в данной работе методов к упомянутому выражению позволяет получить результат Андерсона — Даффина путем почти механических вычислений, может быть, и не очень коротких (см. ниже пример 1).

Средства и методы

Перечислим здесь важные свойства псевдообратной матрицы, а также некоторые другие факты [4, 7-15], на которые будет опираться дальнейшее изложение.

Если А имеет полный ранг по столбцам, то

А+ = (А*А)-1А*, А+А = I. (7)

Если А имеет полный ранг по строкам, то

А+ = А*(АА*)-1, АА+ = I. (8)

Пусть матрица А имеет скелетное разложение А = XY, где X — столбцовая матрица полного ранга, а Y — строчная матрица полного ранга, тогда

АА = АА = 0, АА = 0, А А = 0. Имеет место следствие из работы [1]:

Клайн — Следствие 1.4.

Условие АВ = В эквивалентно такому: АВ = 0, или «1, или А’В = 0.

Примеры вычисления псевдообратных матриц

Приведем несколько примеров вычисления псевдообратной матрицы для матриц, представленных различными многочленными выражениями от проекторов.

Поскольку столбцы матриц X, Y, Z линейно независимы, можно воспользоваться свойством (9)

(А+ву = (х+г+2 #)+ = (хх*+гг*+2 YY*y =

Из выражений (12) и (6) получаем

Источник: cyberleninka.ru

Функции с матричным аргументом

Пусть теперь задана некоторая матричная функция от матрицы A:

С другой стороны очевидно и обратное

где — матрица с одной единицей на i-том месте диагонали ().

где — проекторы матрицы A, образуемые умножением одноименных правых и левых собственных векторов по правилам умножения прямоугольных матриц с размерами соответственно и . Сумма проекторов .

Проекторы обладают свойствами идемпотентных матриц, т.е. матриц, все степени которых равны первой. Для невырожденных проекторов () матрицы A () справедливо:

Представление функции от матрицы A в виде взвешенной суммы проекций называется спектральным разложением матричной функции по собственным значениям матрицы A:

Еще по теме: Нужен ли стабилизатор напряжения для проектора

Если в качестве матричных функций взять и , то их спектральные разложения будут следующими:

Вычисление проекторов матрицы

Проекторы матрицы можно также вычислить, воспользовавшись интерполяционным многочленом Лагранжа с матричным аргументом:

По известному спектру проекторы матрицы можно найти и методом неопределенных коэффициентов. Для чего выбирают такие функции от матрицы A, которые вычисляются очевидным образом, например, такие:

Записывая разложение для каждой функции, получим следующую систему линейных уравнений относительно проекторов:

В случае, когда в спектре матрицы имеются кратные собственные значения, вычисление проекторов осуществляется по интерполяционным формулам Лагранжа, учитывающим еще и заданные значения производных в отдельных точках. Разложение матричной функции по значениям ее на спектре в этом случае имеет вид:

где — значения i-тых произ-водных функции в точках, соответствующих различным (не кратным) корням характеристического многочлена,

— число кратных корней ,

— проекторы кратных корней, в выражении которых содержатся

— проекторы различных корней.

Источник: vuzlit.com

Проекция матрицы

* S подпространство E векторное пространство.

* Вектор х и у его ортогональное проектирование на S.

«Ортогональная проекция на S» является линейным оператором, поэтому может быть представлено матрицей. Матрица представляет проектор называется проекцией матрицы, а это всегда симметричны.

Из-за их важности в области статистики, специальная запись этого Словарь предназначен для проекции матрицы.

Положительный (полу-) определенных матриц

Симметричная матрица называется неотрицательно определенной, если для любого, не 0 вектор х:

х ‘х 0

Если это неравенство всегда строгое, матрица называется положительно определенной.

Положительно определенные матрицы играют важную роль в области статистики (в основном, потому что ковариационной матрицы неотрицательно), и вступление в эту Словарь предназначен для положительно определенной матрицы.

В этом уроке мы переходим те свойства симметричных матриц, которые будут необходимы на этом сайте для установления важных результатов о:

* Анализ главных компонент,

* Линейная регрессия (простых и кратных),

* Многомерного нормального распределения,

* Квадратичные формы в нормальных величин.

Только общими свойствами симметричных матриц рассматриваются в этой статье.

* Свойства матрицы проектирования решаются здесь .

* Свойства положительно определенных матриц рассматриваются здесь .

Симметричных матриц

Собственные значения и собственные векторы

Сопряженное собственных значений и векторов

Собственные векторы ортогональны

Спектральное разложение симметричной матрицы

Ранг симметричной матрицы

Источник: studfile.net