Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде (pV^a = const), где p (Па) — давление в газе, V — объeм газа в кубических метрах, a — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение вдвое раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?
$$4p cdot left(fracright)^a = pV^a,$$
Наименьшее значение константы а равно 2.
Прототип задания 11 (№ 27993)
Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением (p_1V_1^ = p_2V_2^), где (p_1) и (p_2) — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, (V_1) и (V_2) — объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 1,6 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.
$$1 cdot 1,6^ = 128 cdot V_2^, $$
Ты открываешь вариант по математике, а там… #shorts | ЕГЭ 2023 по профильной Математике
$$1,6 = 2^5 cdot V_2,$$
Газ нужно сжать до объема 0,05 литров.
Прототип задания 11 (№ 27994)
В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре (C = 2 cdot 10^) Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением (R = 5 cdot 10^6) Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе (U_0 = 16) кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения (U) (кВ) за время, определяемое выражением (t=alpha RClog _ frac>) (с), где (alpha =0,7) — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 21 с. Ответ дайте в киловольтах.
$$0,7 cdot 5 cdot 10^6 cdot 2 cdot 10^log _ frac = 21, $$
Напряжение на конденсаторе через 21 с после выключения телевизора равно 2 кВ.
Прототип задания 11 (№ 27995)
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне (T_> = 20^circ >), через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды m = 0,3 кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры (T_> = 60^circ >) до температуры T, причём (x = alpha frac><gamma >log _2 frac< — T_> >>< >>), где (c = 4200fraccdottext>> cdot ^circ >>>) — теплоёмкость воды, (gamma = 21frac<<>>>> cdot ^circ >>>) — коэффициент теплообмена, а (alpha=0,7) — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 84 м.
ЕГЭ 2014 Типовой вариант 6
Условия задач с ответами и решениями
B1 . В летнем лагере на каждого участника полагается 30 г сахара в день. В лагере 223 человека. Сколько килограммовых упаковок сахара понадобится на весь лагерь на 8 дней?
B2 . На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Рио-де-Жанейро за каждый месяц 2009 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разность между наибольшей и наименьшей среднемесячной температурой в 2009 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Разбор варианта №3 из сборника ФИПИ/профиль математика 2023
B3 . Найдите площадь трапеции, вершинами которой являются точки с координатами (1;6), (7;6), (4;1), (2;1).
B4 . В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трех городах России (по данным на начало 2010 года). Определите, в каком из этих городов окажется самым дешевым следующий набор продуктов: 2 батона пшеничного хлеба, 3 кг говядины, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях)
B5 . Найдите корень уравнение
B6 . Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 11, а одна из диагоналей ромба равна 44. Найдите величину тупого угла ромба. Ответ дайте в градусах.
B7 . Найдите значение выражения .
B8 . На рисунке изображен график функции и десять точек на оси абсцисс: . В скольких из этих точек производная функции положительна?
B9 . Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12, а сторона основания равна 8. Найдите тангенс угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания пирамиды.
B10 . В торговом центре два одинаковых автомата продают чай. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится чай, равна 0,4. Вероятность того, что чай закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах.
B11 . Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6, боковые ребра равны 5. найдите площадь поверхности этой пирамиды.
B12 . Для обогрева помещения температура в котором равна T п = 20 о С, через радиатор отопления пропускают горячую воду температурой Т в = 88 о С. Расход проходящей через трубу воды m = 0,4 кг/c. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры T (o C), причем (м), где с = 4200 Дж/(кг o C) — теплоемкость воды, Вт/(м o C) — коэффициент теплообмена, — постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы равна 64 м?
B13 . В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же число процентов. В результате они стали стоить на 9% дешевле, чем при открытие торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?
B14 . Найдите наибольшее значение функции на отрезке
С1 . а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
С2 . В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 ребро основания AB = , а боковое ребро АА 1 = 7. Найдите тангенс угла между плоскостями BCA 1 и BB 1 C 1 .
С3 . Решите систему неравенств
С4 . Дан параллелограмм со сторонами 1 и 2 и острым углом 60 о. На двух его несмежных сторонах как на основаниях построены вне параллелограмма равнобедренные треугольники с углами 120 о при вершинах. Найдите расстояние между этими вершинами.
С5 . Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение, меньшее 2.
С6 . Друг за другом подряд выписали десятичную запись чисел и . Сколько всего цифр выписали?
Для обогрева помещения, температура в котором равна Tп = С, через радиатор отопления пропускают горячую воду температурой Тв = С. Расход проходящей через трубу воды кг/c. Проходя по трубе расстояние (м), вода охлаждается до температуры Т (), причём (Tв-Тп/T-Tп), (м), где Дж/кг — теплоёмкость воды, Вт/м -коэффициент теплообмена, а — постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы м?
Решение задачи
Задание 8 ЕГЭ по математике (профиль) часть 3
Тренажер задания 8 профильного ЕГЭ по математике-2023 (с ответами). Здесь приведены прототипы задания 8 — задачи на иррациональные, показательные и логарифмические функции. Это задание на применение математических знаний при решении прикладных задач. Номер заданий соответствует номеру заданий в базе mathege.ru.
Иррациональная функция
27982 Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч 2 . Скорость V вычисляется по формуле где l — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость 100 км/ч. Ответ выразите в км/ч 2 .
27983 При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону:
где l0 = 5 м — длина покоящейся ракеты, c = 3 · 10 5 км/с — скорость света, а v — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с.
27984 Наблюдатель находится на высоте h, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле:
где R = 6400 км — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии 4 километров? Ответ выразите в метрах.
27985 Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землeй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле:
где R = 6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 6,4 километров?
27986 Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землeй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле:
где R = 6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 км. К пляжу ведeт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 6,4 километров?
27987 Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a = 5000 км/ч 2 . Скорость v вычисляется по формуле где l — пройденный автомобилем путь. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 100 км/ч.
27990 При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон pV k = 10 5 Па · м 5 , где p — давление в газе в паскалях, V — объeм газа в кубических метрах, k = 5/3. Найдите, какой объем V (в куб.м) будет занимать газ при давлениях p, равном 3,2 · 10 6 Па?
27993 Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объeм и давление связаны соотношением , где p1 и р2 — давление в газе(в атм.), V1 и V2 — объeм газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объeм газа равен 1,6 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объема нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.
Показательная функция
27991 В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону:
где m0 — начальная масса изотопа, t — время, прошедшее от начального момента, T— период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 40 мг. Период его полураспада составляет 10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг?
27992 Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде pV a = const, где p (Па) — давление в газе, V — объeм газа в кубических метрах, a — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение вдвое раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?
Логарифмическая функция
27994 В телевизоре емкость высоковольтного конденсатора C = 2 · 10 -6 Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением R = 5 · 10 6 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U0 = 16 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением:
(с), где α = 0,7 — постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 21 с. Ответ дайте в киловольтах.
27995 Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне Tп = 20º C, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды m = 0,3 кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры Tв = 60º C до температуры T, причём:
где c = 4200 Вт·с/кг· ºC — теплоёмкость воды, γ = 21 Вт/м · ºC — коэффициент теплообмена, а α =0,7 — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 84 м.
27996 Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени υ= 3 моля воздуха объeмом V1=8 л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма V2. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением:
где α = 5,75 Дж/моль·К — постоянная, а T = 300 К — температура воздуха. Найдите, какой объeм V2 (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10350 Дж.
27997 Водолазный колокол, содержащий υ = 2 моля воздуха при давлении p1 = 1,5 атмосферы, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления р2. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением (Дж), где α = 5,75 Дж/моль · К — постоянная, T = 300 К — температура воздуха. Найдите, какое давление p2 (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 6900 Дж.
Источник: chemege.ru
Решение физических задач ЕГЭ по математике
2. Задания с наибольшим количеством аналогов
3.
Прототип: 28009
Задание B12 (№ 28643)
Два тела массой
кг каждое движутся с одинаковой скоростью
м/с
под углом
друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно
неупругом соударении определяется выражением
. Под каким
наименьшим углом
(в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате
соударения выделилось не менее 108 джоулей?
Задание B12 (№ 28613)
Прототип: 28006
Трактор тащит сани с силой
кН, направленной под острым углом
к
горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной
м
вычисляется по формуле
. При каком максимальном
угле
(в градусах) совершeнная работа будет не менее 2800 кДж?
Задание B12 (№ 28053)
Прототип: 27956
Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятиямонополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой
. Выручка
предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле
. Определите
наибольшую цену p, при которой месячная выручка
составит не менее
360 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
4. Задания с наименьшим количеством аналогов
5.
Задание B12 (№ 41991)
Прототип: 27973
Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением
электроприбора по закону Ома:
, где U — напряжение в вольтах, R — сопротивление
электроприбора в омах. В электросеть включeн предохранитель, который плавится, если сила
тока превышает 1 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у
электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ
выразите в омах.
Прототип: 27959
Задание B12 (№ 28083)
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его
открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в
метрах, меняется по закону
, гдеt — время в секундах, прошедшее с
момента открытия крана,
м — начальная высота столба воды,
—
отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения
(считайте
м/с ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть
первоначального объeма воды?
Задание B12 (№ 28393)
Прототип: 27987
Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути
длиной l км с постоянным ускорением a км/ч , вычисляется по формуле
. Определите,
с какой наименьшей скоростью будет двигаться автомобиль на расстоянии 0,4 километра от
старта, если по конструктивным особенностям автомобиля приобретаемое им ускорение не
меньше 12500 км/ч . Ответ выразите в км/ч.
6. Шаги решения В12
Решение задач В12 условно можно разделить на несколько шагов:
а) анализ условия и вычленение формулы, описывающей заданную
ситуацию, а также значений параметров, констант или начальных условий,
которые необходимо подставить в эту формулу;
б) математическая интерпретация задачи — сведение её к уравнению или
неравенству и его решение;
в) анализ полученного решения.
Задания В12 отличаются от других тем, что очень высок процент тех, кто
даже не приступал к решению.
Основные проблемы — трудности с арифметикой, логические ошибки,
невнимательное чтение условия.
7. Задачи, решение которых сводятся к стандартным уравнениям и неравенствам
линейному уравнению или неравенству
степенному уравнению или неравенству
показательному уравнению или неравенству
логарифмическому уравнению и неравенству
тригонометрическому уравнению или неравенству
8. Задание B12 (№ 28017)
При температуре 0oС рельс имеет длину lo= 20 м. При
возрастании температуры происходит тепловое
расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах,
меняется по закону l(to) = l0 ( 1+α·to), где α = 1,2·10-5(oC)-1
– коэффициент теплового расширения, to — температура
(в градусах Цельсия). При какой температуре рельс
удлинится на 9 мм? Ответ выразите в градусах
Цельсия.
9.
Данные:
l0 2 104 мм; 1,2 10 5 (0C ) 1.
Функция:
Найти:
l (t 0 ) l0 (1 t 0 )
t 0 при l (t 0 ) 20009 мм
Получаем уравнение:
l (t 0 ) 20000 2 104 1,2 10 5 t 0
20009 0,24 t 0 20000
9 0,24 t 0
9
900
0,24 24
75
37,50 С
2
t0
Ответ: 37,5.
10. Задание B12 (№ 28027)
Некоторая компания продает свою продукцию по цене
p = 600 руб.
за единицу, переменные затраты на производство одной единицы
продукции составляют ν = 400 руб., постоянные расходы предприятия
f = 600000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль (в рублях)
вычисляется по формуле π(q) = q( p — ν)- f . Определите наименьший
месячный объём производства q (единиц продукции), при котором
месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше
500000 руб.
11.
Данные: p 600 руб.,
400 руб.
f 600000 руб.
Функция: (q ) q ( p ) f
Найти: qнаим. при (q ) 500000.
Решаем неравенство:
200q 600000 500000
200q 1100000
q 5500
qнаим. 5500
Ответ: 5500.
12.
Задание B12 (№ 28027)
Для обогрева помещения, температура в котором Тп = 20°С, через радиатор
пропускают горячую воду температурой Т= 60°С. Через радиатор проходит m= 0,3
кг/с воды. Проходя по радиатору расстояние х = 84 м, вода охлаждается до
температуры T(°С), причём
где с = 4200 — теплоёмкость воды, γ= 21 — коэффициент теплообмена,
а α = 0,7 — постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода?
13.
Данные:
Тп = 20°С
m= 0,3 кг/с
х = 84 м
α = 0,7
с = 4200
Функция:
Найти: Т-?°С
Получаем уравнение:
Ответ: 30
14.
Задание B12 (№ 28027)
Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий ν= 4 моля воздуха
при давлении р1 = 1,2 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При
этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа (в джоулях),
совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением
где α = 5,75 — постоянная, Т = 300 К—температура воздуха, P1 (атм) начальное давление, а р2 (атм) — конечное давление воздуха в колоколе.
До какого наибольшего давления р2 (в атм) можно сжать воздух в
колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более чем
20 700 Дж?
15.
Данные:
α = 5,75
ν= 4
Т = 300
р1 = 1,2
Функция:
, при
Найти:
Получаем неравенство:
Ответ: 9,6
16.
Задание B12 (№ 28006)
Трактор тащит сани с силой F = 80 кН, направленной под острым углом а к
горизонту. Работа трактора, выраженная в килоджоулях, на участке длиной S = 50 м
равна
А = FS cos α.
При каком максимальном угле а (в градусах) совершённая работа будет
не менее 2000 кДж?
17.
Данные:
S = 50
F =80
Функция:
Найти:
А = FS cos α.
а (в градусах), при
А ≥ 2000
Получаем неравенство:
80•50• cos α ≥ 2000
cos α ≥
0° < α≤ 60
°
Ответ: 60
18.
Задание B12 (№ 27991)
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса
уменьшается по закону
m(t) = m0.2-t/T,
где m0 — начальная масса изотопа, t — время, прошедшее от начала распада,
Т — период полураспада в минутах. В лаборатории получили вещество,
содержащее m0 = 40 мг изотопа азота-13, период полураспада которого
Т = 10 мин. В течение скольких минут масса изотопа азота-13 будет
не меньше 10 мг?
19.
Данные:
Т = 10 мин
m0 = 40 мг
Функция:
Найти:
m(t) = m0.2-t/T,
t , если
m(t) ≥ 10
Получаем неравенство:
40 *2 -t/10 ≥ 10 ,
2 -t/10 ≥ 2-2 ,
t ≤ 20
Ответ: 20
20. Задачи, решения которых сводятся к квадратным уравнениям и неравенствам.
21.
Задание B12 (№ 28135)
Мотоциклист, движущийся по городу со
скоростью v0 = 57 км/ч, выезжает из него и
сразу после выезда начинает разгоняться с
постоянным ускорением a = 12 км/ч2.
Расстояние от мотоциклиста до города,
измеряемое в километрах, определяется
2
at
выражением S = v t
0
2
Определите наибольшее время, в течение
которого мотоциклист будет находиться в зоне
функционирования сотовой связи, если
оператор гарантирует покрытие на расстоянии
не далее чем в 30 км от города. Ответ
выразите в минутах.
22.
Данные: v0 57,
a 12.
at 2 S 57t 6t 2
Функция: S v0t
2
Найти: tнаиб. 0 при S 30.
Решаем неравенство:
2
30 57t 6t 2
D
19
4 10 2
2
6t 57t 30 0, |: 3 361 80 441 212.
t1 10, t 2 0,5
2
2t 19t 10 0
10 t 0,5
Ответ:
30.
23.
Задание B12 (№ 28125)
Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку,
которая равноускоренно наматывает кабель на катушку.
Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со
βt2
временем по закону φ = ωt
, где t — время в
2
минутах, ω = 750/мин — начальная
угловая скорость вращения катушки,
а β = 100/мин2 — угловое ускорение, с которым
наматывается кабель. Рабочий должен
проверить ход его намотки не позже того момента,
когда угол намотки φ достигнет
Определите время после начала
22500.
работы лебёдки, не позже которого
рабочий должен проверить её работу.
Ответ выразите в минутах.
Лебёдка — механизм, тяговое
усилие которого передается
посредством каната, цепи, троса
или иного гибкого элемента от
приводного барабана.
24.
Данные:
75,
10.
Функция: t
Найти:
tнаиб.
t 2
.
2
0 при 2250.
Решаем неравенство:
D 152 4 450
3252 4 9 25 2
3252 (1 4 2)
325232 452.
t1 30, t2 15 tнаиб.
(больший корень)
Ответ: 15.
25.
Задание B12 (№ 28165)
Деталью некоторого прибора является вращающаяся
катушка. Она состоит из трёх однородных соосных
цилиндров: центрального массой m = 8 кг и радиуса R =
5 см, и двух боковых с массами M = 2 кг и с радиусами
R + h. При этом момент инерции катушки относительно
оси вращения, выражаемый в кг· см2 , даётся формулой
(m+2M)R2
I =
+ M(2Rh
. + h2).
2
При каком максимальном значении h момент инерции
катушки не превышает предельного значения 1900 кг· см2
? Ответ выразите в сантиметрах.
26.
Данные:
m 8,
M 2,
R 5.
Функция:
(m 2M ) R 2
I
M (2 Rh h 2 ).
2
Найти:
hmax 0 при I 1900.
Решаем неравенство:
2
D
10
4 875
2
1900 2h 20h 150.
100 3500
2
2
300
60
.
2h 20h 1750 0, |: 2
h 2 10h 875 0.
h1 35, h2 25
Ответ: 25.
27.
Задание B12 (№ 28053)
Зависимость объёма спроса q (тыс. руб.) на
продукцию предприятия-монополиста от цены p
(тыс. руб.) задаётся формулой q = 130 — 10p .
Выручка предприятия за месяц
r (в тыс. руб.)
вычисляется по формуле r(p) = q · p. Определите
наибольшую цену p, при которой месячная
выручка составит не менее 360 тыс. руб.
Ответ приведите в тыс. руб.
28.
Данные: q 130 10 p, r ( p) q p
Функция:
Найти:
r ( p ) (130 10 p ) p
pнаиб. при r ( p) 360.
Получаем неравенство:
10 p 2 130 p 360,
p 2 13 p 36 0
4 p 9
Ответ: 9.
29.
Задание B12 (№ 28105)
Камнеметательная машина выстреливает камни под
некоторым острым углом к горизонту. Траектория
полёта камня описывается формулой y = ax2 + bx ,
-1
7
-1
где a
м ,b
— постоянные параметры,
60
6
x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) —
высота камня над землёй. На каком наибольшем
расстоянии (в метрах) от
крепостной стены высотой 9 м нужно расположить
машину, чтобы камни пролетали над стеной на
высоте не менее 1 метра?
30.
Данные:
1
,
60
7
b
.
6
a
2
y
(
x
)
ax
bx.
Функция:
Найти: x при y ( x) 10.
Решаем неравенство:
1
7
x2
x 10.
60
6
x1 10, x2 60 x наиб.
x 2 70 x 600 0,
y = 10
Ответ:
60.
31.
Задание B12 (№ 28091)
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого
дна закреплён кран. После его открытия вода начинает
вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём,
выраженная в метрах, меняется по закону
H(t) = H0 + bt + at2 , где Н0 = 2 м — начальный уровень воды,
1
-2
2
a
м/мин , b
м/мин, t — время в минутах,
50
5
прошедшее с момента открытия
крана. В течение какого времени
вода будет вытекать из бака? H0
Ответ приведите в минутах.
32.
Данные:
H 0 2 м,
1
a
,
50
2
b .
5
2
Н
(
t
)
H
bt
at
Функция:
0
Найти: t при H (t ) 0.
Решаем уравнение:
2
1 2
2 t
t 0,
5
50
100 20t t 2 0,
t 10
2
0 t 10.
Ответ: 10.
33.
Задание B12 (№ 28081)
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого
дна закреплён кран. После его открытия вода начинает
вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём,
выраженная в метрах, меняется по закону
g 2 2 , где t — время в секундах,
H (t ) = H0 — 2gH 0 kt k t
2
прошедшее с момента открытия крана, k = 1 —
200
отношение площадей поперечных сечений крана и бака,
Н0 = 5 м — начальная высота столба воды, а g — ускорение
свободного падения (считайте g = 10 м/с2).
Через
сколько секунд после открытия крана в баке останется
четверть первоначального объёма воды?
34.
Данные:
g 10 м / с 2 ,
1
k
,
200
H0 5 м
Функция: Н (t ) H 0
Найти: t при H (t )
2 gH 0 kt
1
5
H0 .
4
4
g 2 2
k t
2
Решаем уравнение:
5
1
1
5
t
t2 .
20
8000
4
40000 400t t 2 10000.
t 2 400t 30000 0.
H0
t 1 300, t2 100 t наим.
1
H0
4
Ответ:
100.
35.
Задание B12 (№ 28115)
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от
времени для нагревательного элемента некоторого
прибора была получена экспериментально и на
исследуемом интервале температур определяется
выражением T(t) = T0 + bt + at2 , где t — время в
минутах, T0 = 1450 К, a = — 12,5 К/мин2 , b = 175 К/мин.
Известно, что при температуре нагревателя свыше
1750 К прибор может испортиться, поэтому его нужно
отключать. Определите, через какое наибольшее
время после начала работы нужно отключать
прибор. Ответ выразите в минутах.
Пирометр — прибор для беcконтактного измерения температуры тел.
36.
T0 1450,
a 12,5,
b 175.
Данные:
Функция:
2
T (t ) T0 bt at T
(t ) 1450 175t 12,5t 2
Найти: t наиб. 0 при T (t ) 1750.
Схематичный график:
1750 1450 175t 12,5t 2
12,5t 2 175t 300 0, | 2
y
1750
25t 2 350t 600 0, |: 25
y = T(t)
t 2 14t 24 0,
t 2, t 12
Ответ: 2.
1450
0
tнаиб.
Необходимо
отключить
t
37. Задачи, в которых необходимо найти длину промежутка.
38.
Задание B12 (№ 28039)
1,2 с
1,1 с
После дождя уровень воды в
колодце может повыситься.
Мальчик измеряет время t
падения небольших камешков
в колодец и рассчитывает
расстояние до воды по
формуле h = 5t2, где
h — расстояние в метрах,
t — время падения в секундах.
До дождя время падения
камешков составляло 1,2 с.
На сколько должен подняться
уровень воды после дождя,
чтобы измеряемое время
изменилось на 0,1 с?
39.
Данные: tдо 1,2 с, t 0,1, tизм. 1,1 с.
Функция: h 5t 2
Найти:
h h(1,2) h(1,1)
Решение:
h 5 1,2 5 1,1
2
2
5 (1,2 1,1 )
5 (1,2 1,1) (1,2 1,1)
5 0,1 2,3 1,15( м)
2
2
Ответ: 1,15.
40.
Задание B12 (№ 28059)
Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по
закону h(t) = 1,4 + 9t — 5t2 , где h — высота в метрах, t —
время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько
секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?
41.
Данные: h(t ) 3
Функция: h(t ) 5t 2 9t 1,4
Найти: t t2 t1
Получаем неравенство: 5t 2 9t 1,6 0,
5t 2 9t 1,4 3.
0,2 t 1,6
t 1,6 0,2 1,4
D 81 32 49,
t1 0,2, t1 1,6.
Ответ: 1,4
42. Задачи, в которых присутствуют несколько переменных
43.
Задание B12 (№ 28071)
Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на
верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет
выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на
дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней
точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться,
если сила её давления на дно будет положительной во
всех точках траектории кроме верхней, где она может быть
равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная
2
v
в ньютонах, равна P m
g , где m — масса воды в
L
килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с,
L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного
падения (считайте, g = 10 м/с2 ). С какой наименьшей
скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не
выливалась, если длина верёвки равна 62,5 cм?
Ответ выразите в м/с.
44.
Данные:
g 10 м / с2 , L 0,625 м
L 62,5 см 0,625 м
v2
P m v 2 10 , m 0, v 0.
Функция: P m g
0,625
L
Найти:
vнаим. 0 при P 0.
Решаем неравенство:
v2
m
10 0, v 0.
0,625
Так как v 0, то v 2,5.
Ответ: 2,5
Источник: ppt-online.org