Момент инерции твердого тела относительно неподвижной оси вращения – физическая величина, численно равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси.
Теорема Штейнера – момент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.
Момент силы относительно неподвижной точки – физическая величина, численно равная векторному произведению радиус-вектора данной точки, к которой приложен вектор силы, и вектора силы.
Момент силы относительно неподвижной оси – скалярная величина, равная проекции на ось вектора момента силы, определенного относительно точки, лежащей на данной оси.
Основные формулы
| Момент инерции твердого тела: | . |
| Теорема Штейнера: | . |
| Момент инерции цилиндра (диска): | . |
| Момент инерции полого цилиндра (кольца): | . |
| Момент инерции шара: | . |
| Момент инерции тонкостенной сферы: | . |
| Момент инерции тонкого стержня (ось проходит перпендикулярно стержню через его середину): | . |
| Момент инерции тонкого стержня (ось проходит перпендикулярно стержню через один из его концов): | . |
| Кинетическая энергия вращения: | . |
| Момент силы относительно неподвижной точки: | |
| Основной закон динамики вращения твердого тела: |
Момент инерции
Примеры решения задач
К ободу однородного сплошного диска массой 10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила 30 Н. Определить кинетическую энергию тела через 4 с после начала действия силы.
| Дано: Сплошной диск Найти | Решение |
| Рис.3.1 | Кинетическая энергия вращающегося тела определяется по формуле: , (1) где – момент инерции диска. |
К диску приложена постоянная касательная сила.
Момент этой силы, исходя из основного закона динамики вращения твердого тела, равен
Но момент силы можно определить, зная плечо этой силы:
Приравнивая формулы (2) и (3), получаем выражение для нахождения угловой скорости вращения диска:
Подставляем момент инерции диска и угловую скорость в формулу (1):
После подстановки данных получаем
Шар радиусом 10 см и массой 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению , рад. Определить момент сил через 3 с после начала вращения.
| Дано: Шар Найти | Решение Основной закон динамики вращения твердого тела позволяет найти момент сил: . (1) Момент инерции шара: . (2) |
Угловое ускорение – это вторая производная угла поворота по времени:
Момент инерции абсолютно твердого тела. 10 класс.
Подставляем формулы (2) и (3) в уравнение (1):
Найдем значение момента сил:
Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязаны грузики массой 100 г и 110 г. С каким ускорением будут двигаться грузики, если масса блока 400 г? Трением пренебречь.
| Дано: Найти | Решение Сделаем рисунок к данной задаче, учитывая, что блок в виде диска может вращаться вокруг оси. |
| Рис.3.2 | Составляем уравнения по второму закону Ньютона для двух грузиков, движущихся поступательно и уравнение по основному закону динамики вращения твердого тела для блока: |
Делаем проекции первых двух уравнений системы на координатную ось Оy:
Так как шнур нерастяжимый, то грузы будут двигаться с одинаковым ускорением, т.е. , также, в соответствие с третьим законом Ньютона, будут равны силы натяжения шнуров:
Момент сил, приложенных к блоку:
Приравниваем правые части полученных уравнений:
Силы натяжения шнуров выразим из системы (1) и подставляем в уравнение (2):
Перегруппировав полученное выражение, можно выразить ускорение:
Шар катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Полная кинетическая энергия шара 14 Дж. Определить кинетическую энергию поступательного и вращательного движения шара.
| Дано: . Найти | Решение Шар, катясь по горизонтальной поверхности, совершает одновременно поступательное и вращательное движение, следовательно, его полная кинетическая энергия складывается из двух составляющих: |
где – момент инерции шара, относительно оси, проходящей через центр его масс, а – угловая скорость вращения шара.
Подставляем формулы момента инерции и угловой скорости в уравнение (1):
Из полученного выражения (2) выделяем произведение , которое позволяет найти долю кинетической энергии, приходящейся на поступательное движение шара:
Зная кинетическую энергию поступательного движения, найти долю кинетической энергии вращательного движения легко:
Подставляем исходные значения в формулы (3) и (4):
Найти момент инерции однородного тела, имеющего форму диска, в котором сделан квадратный вырез. Одна из вершин выреза совпадает с центром диска. Радиус диска 20 см, сторона квадрата 10 см, масса тела 5 кг. Имеется в виду момент инерции относительно оси, перпендикулярной к диску и проходящей через его центр.
| Дано: Найти | Решение Сделаем рисунок диска, имеющего квадратный вырез. Момент инерции сплошного диска, относительно оси перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр его масс равен . |
| Рис.3.3 | Так как диск имеет вырез, то его момент инерции уменьшается на величину момента инерции квадратного параллелепипеда относительно заданной оси z, т.е. , (1) где – момент инерции квадратного параллелепипеда, найденный с учетом теоремы Штейнера, относительно оси вращения z. |
Формула (1) с учетом записанных моментов инерции приобретает вид:
Учтем, что b – это половина диагонали квадрата, т.е. :
В условии задана масса изделия, т.е. диска с вырезом:
Выразим из полученной формулы общую для диска и параллелепипеда высоту:
Определяем массы диска и квадратного параллелепипеда через заданную массу изделия, подставляя вместо высоты выражение (3):
Подставляем полученные массы в формулу (2):
Полученное выражение позволяет найти момент инерции изделия:
Задачи для самостоятельного решения
1. Диаметр диска 20 см, масса 800 г. Определить момент инерции диска, относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска ( ).
2. Вычислить момент инерции проволочного прямоугольника со сторонами 12 см и 16 см относительно оси, лежащей в плоскости прямоугольника и проходящей через середины малых сторон. Масса равномерно распределена по всей длине проволоки с линейной плотностью 0, 1 кг/м (0, 144 ).
3. Два тела массами 0, 25 кг и 0, 15 кг связаны тонкой нитью, переброшенной через блок. Блок укреплен на краю стола, по поверхности которого скользит тело массой 0, 25 кг. С каким ускорением движутся тела, если коэффициент трения тела о поверхность стола равен 0, 2? Масса блока 0, 1 кг и ее можно считать равномерно распределенной по ободу. Массой нити и трением в подшипниках оси блока пренебречь (1, 96 ).
4. Рассчитать момент инерции тонкого диска радиусом 10 см с вырезом радиусом 5 см относительно оси z, указанной на рис 3.4. Масса изделия 1 кг.
Контрольные вопросы
1. Сколько значений момента инерции может иметь данное тело?
2. На тело с моментом инерции 2 действует вращающий момент 8 . С каким угловым ускорением вращается тело?
3. Во сколько раз момент инерции диска относительно оси симметрии, перпендикулярной основанию, меньше его момента инерции относительно оси, проходящей через край диска перпендикулярно основанию?
4. На какую высоту вкатится по наклонной плоскости шар, если у основании этой плоскости скорость его поступательного движения 4 м/с?
Источник: lektsia.com
Моменты инерции твердого тела
Различают осевые, центробежные и полярный моменты инерции твердого тела.
Осевые моменты инерции — скалярные величины, равные сумме произведений масс всех точек тела на квадраты расстояний от этих точек до соответствующих координатных осей.
где — расстояние от точки Мk до оси х. Аналогично
Момент инерции твердого тела относительно оси может определяться по формуле ,где iz — радиус инерции тела относительно оси — расстояние от оси z до такой точки тела, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции этой точки был равен моменту инерции всего тела.
Полярный момент инерции (момент инерции относительно начала координат)
Осевые моменты инерции некоторых однородных тел
1. Тонкое кольцо
Масса М распределена по внешней поверхности
2. Тонкие пластины. Масса М равномерно распределена по сечению.
круглая пластина (диск):
Теорема о моментах инерции твердого тела относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса-Штейнера)
Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси равен сумме момента инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями.
Вычислить момент инерции однородного стержня длины l и массы m относительно оси, проходящей через конец стержня.
Решение. Момент инерции стержня относительно оси Сz:
Момент инерции стержня относительно параллельной оси проходящей через конец стержня, по теореме Гюйгенса-Штейнера:
Центробежные моменты инерции
Центробежные моменты инерции учитывают асимметрии в распределении масс, вычисляются относительно пары координатных осей по формулам:
В отличие от осевых, центробежные моменты инерции могу быть положительными, отрицательными или равными нулю. Это зависит от выбора начала осей координат и их направления
Ось, относительно которой центробежные моменты инерции, содержащие в своих индексах наименование этой оси, равны нулю, называется главной осью инерции тела. Главная ось инерции, проходящая через центр масс тела, называется главной центральной осью инерции. Главными осями инерции твердого тела являются его оси симметрии.
Общие теоремы динамики материальной точки и механической системы
Источник: www.studwood.net
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Момент импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси. Момент инерции тела относительно оси. Теорема Штейнера
Рис. 5.1. К определению момента импульса тела относительно оси
Уравнение моментов (4.44а) справедливо для любой произвольно выбранной неподвижной оси. Применим его для случая вращения вокруг неподвижной оси, если в качестве оси моментов выбрана ось вращения тела. Найдем выражение для момента импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения Z.
При вращении абсолютно твердого тела (системы п частиц) вокруг неподвижной оси Z каждая материальная точка тела (частица) массой т,, чей радиус-вектор равен г, , движется по окружности постоянного радиуса Д со скоростью V/, перпендикулярной радиусу Д (рис. 5.1). Момент импульса отдельной частицы Ц = щи^ и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правой руки (совпадает с направлением вектора со на рис. 5.1).
Учтем, что вектор Д остается постоянным по величине и направление его всегда перпендикулярно направлению вектора момента импульса: Д _L Z, .
Можно записать, что момент импульса тела относительно оси Z
При вращении по окружности vi = u>zRi, где со. — проекция вектора угловой скорости вращения ш на ось вращения. Тогда
где момент инерции /-й точки тела Iiz относительно оси вращения есть произведение массы этой точки на квадрат расстояния от нее до оси.
Моментом инерции тела (системы) относительно оси вращения Z называется физическая величина, равная сумме моментов инерции всех материальных точек системы, взятых относительно этой же оси, и определяемая суммой произведений масс п всех материальных точек тела (системы) на квадраты их расстояний до данной оси:
На основании уравнений (5.1) и (5.2) для момента импульса вращающегося тела относительно оси вращения Zможно написать:
В случае, когда масса т твердого тела непрерывно распределена по его объему, момент инерции тела выражается формулой
где R — расстояние элементарной массы dm до оси вращения; dm = pdV — масса малого элемента тела объемом dV; р — плотность вещества тела.
Единица момента инерции в СИ — килограмм-метр в квадрате (кг • м 2 ).
Момент инерции твердого тела зависит от того, как распределена масса тела относительно интересующей нас оси, и является величиной аддитивной.
Главный момент инерции тела — это момент инерции относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела.
Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела / относительно произвольной оси равен сумме момента его инерции /с относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы т тела на квадрат расстояния а между осями:
Рассмотрим абсолютно твердое тело.
Рис. 5.2. К доказательству теоремы Штейнера
Определим момент инерции тела относительно произвольной оси 2 (рис. 5.2). Тогда пусть через центр масс С тела проходит ось 7, параллельная оси 2, расстояние между осями равно а .
Пусть R, w г, — векторы, перпендикулярные осям 1 и 2 соответственно. Они проведены от осей в /-й элемент твердого тела массой ntj.
Рассчитаем момент инерции тела относительно оси 2, используя выражение (5.2):
где ^/яД 2 = 1с ~ момент инерции тела относительно оси 7; ^тД 2 = та 1 .
В последнем члене выражения ?тД = б, так как ось 7 проходит через
центр масс. Докажем это утверждение.
Доказательство. Пусть р, — радиус-вектор /-го элемента тела относительно центра масс. Радиус-вектор центра масс системы частиц относи-
тельно начала отсчета выбранной системы отсчета гс — — /.т,р. по опре- делению (4.7). В системе центра масс гс = 0 и, следовательно, относительно центра масс суммарный вектор ^т,р, = б . Но 7(, — составляющая вектора р, , перпендикулярная осям 7 и 2. Следовательно, если суммарный вектор равен нулю, то сумма его составляющих в плоскости, перпендикулярной осям 7 и 2, также равна нулю.
Рис. 5.3. К вычислению момента инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через точку С
Что и требовалось доказать.
Пр и мер. Найдем момент инерции однородного прямого тонкого стержня массой т и длиной / относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину (точка О (рис. 5.3).
Решение. Разобьем мысленно стержень на малые отрезки. Пусть x — расстояние от одного из таких элементов стержня до оси, a dx — его длина. Тогда момент инерции этого элемента
где S — площадь поперечного сечения стержня; р — плотность вещества стержня; Sdx — dV — элемент объема стержня.
Момент инерции одной половины стержня находим, интегрируя последнее выражение по х от О до 1/2, а искомый момент инерции будет вдвое больше:
Тогда, например, относительно оси, проходящей через конец стержня (точка Л на рис. 5.3), имеем
Рис. 5.4. К определению момента инерции плоской фигуры относительно оси Z
Для плоских фигур (тонких пластин и жестко связанных материальных точек, лежащих в одной плоскости) моменты инерции относительно трех взаимно перпендикулярных осей, две из которых лежат в плоскости фигуры, связаны между собой простым соотношением. Из рис. 5.4 следует, что
Можно показать, что моменты инерции твердого тела относительно осей декартовой системы координат
где т, р и V — масса, плотность и объем тела; х, у и z — координаты малого элемента тела объемом dV.
Источник: studref.com