1. В партии из 15 деталей 11 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Какова вероятность того, что: а) отобранные детали стандартные; б) среди отобранных деталей две нестандартные? 2. Студент пришел на экзамен, зная лишь 30 из 40 вопросов программы. В каждом билете 3 вопроса.
Найти вероятность того, что студент ответит правильно: а) на все вопросы наудачу взятого билета; б) хотя бы на два вопроса. 3. Известно, что в партии из 600 электрических лампочек 200 лампочек изготовлены на первом заводе, 250 – на втором и 150 – на третьем заводе.
Известны также вероятности (0,97; 0,91 и 0,93) того, что лампочка окажется стандартной при изготовлении ее, соответственно, первым, вторым и третьим заводами. Какова вероятность того, что наудачу выбранная из данной партии лампочка окажется стандартной? 4. В партии 10 % нестандартных деталей. Наудачу отобрали 4 детали. Составить закон распределения числа нестандартных деталей среди четырех отобранных.
5. Случайная величина X задана следующим распределением:
| xi | 1 | 3 | 6 | 8 | |
| pi | 0,1 | 0,3 | ? | 0,2 | ; |
Найти неизвестную вероятность рi. Построить полигон распределения вероятностей. Составить интегральную функцию и построить ее график. Вычислить числовые характеристики распределения. 6. Заводскими испытаниями нового телевизора установлено, что время его работы до поломки подчинено показательному закону распределения.
При интенсивности = 0,2 найти вероятность того, что данный экземпляр проработает без отказа: а) один год; б) три года. 7. Имеются выборочные данные о дневном сборе хлопка (Х, кг):
| Х | 20–25 | 25–30 | 30–35 | 35–40 | 40–45 |
| Число сборщиков | 8 | 18 | 42 | 20 | 12 . |
Вычислить выборочные среднюю, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. 8. По пяти группам рабочих металлургического комбината имеются следующие данные:
| Стаж работы, лет | Х | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Выработка одного рабочего за смену, шт. | Y | 2 | 2 | 5 | 8 | 11 . |
Вычислить коэффициент корреляции на основе данных таблицы, при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции в генеральной совокупности. Объяснить его смысл. Построить уравнение регрессии.
Источник: studfile.net
Показательный (экспоненциальный закон распределения)
Случайная величина Х распределена по показательному закону распределения с параметром λ, если её плотность вероятности имеет вид:
Функция распределения имеет вид:
Математическое ожидание и дисперсия для случайной величины, распределенной по показательному закону, находятся по формулам:
То есть при
Пример.
Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина X, распределенная по показательному закону.
Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.
Решение:
По условию математическое ожидание M(х)=1/λ = 15, откуда параметр λ = 1/15. Тогда плотность вероятности и функция распределения примут вид:
Искомую вероятность P(Х ≥20) можно было найти по формуле, интегрируя плотность вероятности, то есть
но проще это сделать, используя функцию распределения:
Найдем среднее квадратическое отклонение: σ(X) = М(Х) = 15 дней.
Равномерный закон распределения.
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения (закон постоянной плотности) на отрезке [a; b], если на этом отрезке функция плотности вероятности случайной величины постоянна, то есть
f (x) имеет вид:
Следовательно, математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на отрезке (a, b), равняется середине этого отрезка.
Дисперсия имеет вид:
Найдем вероятность попадания значения случайной величины, имеющей равномерное распределение, на интервал , принадлежащий целиком отрезку [a, b]:
Функция распределения примет вид:
Пример.
Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты.
Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания поезда.
Решение:
Случайная величина X – время ожидания поезда на временном (в минутах) отрезке [0;2] имеет равномерный закон распределения f (x)=1/2.
Поэтому вероятность того, что пассажиру придется ждать не более полминуты, равна 1/4 от равной единице площади прямоугольника, т.е.
Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение:
Источник: megaobuchalka.ru
Установлено, что время ремонта телевизора есть случайная величина , распределенная по показательному закону
Установлено, что время ремонта телевизора есть случайная величина , распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее пяти дней, если среднее время ремонта составляет три дня.
Решение Для показательного закона связь математического ожидания ( ) и параметра распределения имеет вид: При ( )=3 получим параметр распределения : Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал ( ; ) равна: Тогда вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее пяти дней, равна: Ответ: ( >5)=0,5488
Похожие готовые решения по математическому анализу:
- Случайная величина , которая равна длительности работы элемента, имеет плотность распределения ( )=0,003 −0,003 , ≥0. Найдите среднее время
- Время ремонта и обслуживания автомобиля после одной поездки случайно и имеет экспоненциальный закон распределения
- Случайная непрерывная величина распределена по показательному закону с параметром =0,2. Найти вероятность того, что
- Случайная величина распределена по показательному закону с параметром =0,5. Составить ( ), ( ), построить их графики
- Случайная величина имеет показательное распределение с параметром =3. Найти: а) плотность распределения вероятностей
- Время работы лампы имеет функцию распределения ( )=1− −0,002 . Определить вероятность проработать лампе: а) более 500 часов
- Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 10. Найти закон распределения случайной величины
- Среднее время наработки двигателя на отказ составляет 9000 часов. Найти вероятность того, что двигатель
- Среднее время наработки двигателя на отказ составляет 9000 часов. Найти вероятность того, что двигатель
- Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 10. Найти закон распределения случайной величины
- Время ремонта и обслуживания автомобиля после одной поездки случайно и имеет экспоненциальный закон распределения
- Случайная величина , которая равна длительности работы элемента, имеет плотность распределения ( )=0,003 −0,003 , ≥0. Найдите среднее время
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Источник: www.evkova.org